Распределение простых чисел в арифметических прогрессиях
Вид работы: диплом
Краткая аннотация
Ранний период развития арифметики характеризуется тем, что постепенно и притом весьма медленно развивается процесс счета, выявляются возможности неограниченного его произведения, создается практическая арифметика, в которой решаются отдельные арифметические задачи.
Важнейшие свойства целых чисел были установлены уже в древности. В Греции в школе Пифагора (шестой век до нашей эры) изучались вопросы делимости чисел, рассматривались различные категории чисел: простые, составные, взаимно-простые, совершенные, квадратные.
Греческим математикам был известен способ выделения простых чисел из натурального ряда, получивший название эратосфенова решета. Благодаря Эратосфену (третий век до нашей эры) сделан дальнейший шаг в развитии аналитической теории чисел.
Математиков волновал вопрос бесконечности простых чисел, распределение простых чисел в натуральном ряду и различных последовательностях натурального ряда. Наиболее простыми бесконечными последовательностями натурального ряда являются арифметические прогрессии.
Если рассмотреть прогрессию с разностью 10: 7, 17, 27, 37, 47, 57, 67, 77, 87, 97, 107, … , то в начале среди ее членов встречается сравнительно много простых чисел (подчеркнутые члены). Будут ли простые члены, содержащиеся в этой прогрессии, образовывать бесконечное множество или, начиная с некоторого места, простые числа больше уже встречаться не будут?
Поэтому в качестве темы нашего исследования мы определили: «Простые числа в арифметических прогрессиях».
Целью исследовательской работы является изучение распределения простых чисел в арифметических прогрессиях.
Для этого необходимо решить следующие задачи:
1. Сформулировать теорему Дирихле о бесконечности множества простых чисел в арифметической прогрессии, первый член которой взаимнопрост с разностью.
2. Рассмотреть примеры доказательств частных случаев теоремы Дирихле.
3. Изучить проблему порядка роста функции - числа простых чисел в арифметических прогрессиях … , где при увеличении аргумента .
4. Самостоятельно подобрать и выполнить упражнения, иллюстрирующие изложенный в теоретической части материал.
Для эффективного решения задач дипломной работы была использована совокупность методов исследования: анализ математических идей, анализ теоретического материала по проблеме исследования.
Содержание
Введение 3
Теоретическая часть 5
Глава I. Простые числа в арифметических прогрессиях 5
1.1. Простые и составные числа 5
1.2. Распределение простых чисел в натуральном ряду 8
Глава II. Распределение простых чисел в арифметических прогрессиях 19
2.1. Частные случаи теоремы Дирихле 19
2.2. Теорема Дирихле 25
2.3. Функция
37
Практическая часть 40
Заключение 48
Литература 49
Год: 2008
Кол-во стр. 50
Цена 1500 руб.